已知函数f(x)=(x∈[2，+∞))，(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f(x)=(x∈[2，+∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范围．

答案

解：(1)任取x₁，x₂∈[2，+∞)，且x₁＜x₂，f(x)=+2，
则f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₂)，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁≥2，x₂＞2，
∴x₁x₂＞4，1-＞0，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，
故f(x)在[2，+∞)上是增函数，
∴当x=2时，f(x)有最小值，即f(2)=。
(2)∵f(x)最小值为f(2)=，
∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)_min＞a，即a＜。