已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2)。(I)求f(-1),f(
题型:解答题难度:一般来源:山东省高考真题
已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2)。 (I)求f(-1),f(2.5)的值; (Ⅱ)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[ -3,3]上的单调性; (Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值。 |
答案
解:(Ⅰ)f(-1)=kf(1)=-k ∵f(0.5)=kf(2.5) ; (Ⅱ)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2) ∴f(x-2)=kf(x) ∴f(x)= 当-2≤x<0,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4); 当2≤x≤3时,0≤x-2≤1,; 故 ∴k<0 ∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1] 上为减函数; (Ⅲ)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,而在x=-1或x=3处取得最大值,f(-1)=-k或f(3)=- 故有①k<-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值,f(-1)=-k; ②k=-1时,f(x)在x=-3与x=l处取得最小值f(-3)= f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1 ③-1<k<0时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值。 |
举一反三
若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 |
[ ] |
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 |
已知锐角三角形ABC,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题中正确的是 |
[ ] |
A.f(cosA)>f(cosB) B.f(sinA)>f(cosB) C.f(sinA)<f(cosB) D.f(sinA)>f(sinB) |
在△ABC中,,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的 |
[ ] |
A.f(cosA)>f(cosB) B.f(sinA)>f(sinB) C.f(sinA)>f(cosB) D.f(sinA)<f(cosB) |
设定义域为R的函数f(x)满足下列条件:①对任意x∈R,f(x)+f(-x)=0;②对任意x1,x2∈[1,a],当x2>x1时,有f(x2)>f(x1)求证:。 |
已知函数f(x)=-x-x3,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, 则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值的符号一定是( )。 |
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