已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x1，x2∈N，x1≠x2都有；（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；（2）n∈N，且f(0)=1，

题型：解答题难度：困难来源：0101 月考题

已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂都有；
（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；
（2）n∈N，且f(0)=1，求证：f(n)≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f(n+f(m))=f(n)+1， 证明：。

答案

证明：（1）由知，
对任意，都有，
由于a-b＜0，从而，所以函数f(x)为上的单调增函数。
（2） 由（1）可知，都有f(n+1)＞f(n)，则有f(n+1)≥f(n)+1，
∴f(n+1)-f(n)≥1，
∴f(n)-f(n-1)≥1，
…
∴f(2)-f(1)≥1，
∴f(1)-f(0)≥1，
由此可得f(n)-f(0)≥n，
∴f(n)≥n+1命题得证。
（3）令m=0，可得出f(0)=1，
又f(n+1)=f(n)+1，
则f(n)=n+1，
∴。