已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b]D,使函数f(x)在区间[a
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已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b]D,使函数f(x)在区间[a
题型:解答题
难度:困难
来源:0117 期中题
已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b]
D,使函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],那么称y=f(x),x∈D为闭函数;请解答以下问题:
(1)求闭函数y=-x
3
符合条件②的区间;
(2)判断函数
是否为闭函数?并说明理由;
(3)若y=k+
(k<0)是闭函数,求实数k的取值范围。
答案
解:(1)先证y=-x
3
符合条件①:对于任意
,且
,
有
,
∴
,故y=-x
3
是R上的减函数,
由题意得:
,则
,
∴
而
,
∴a+b=0,
又b>a,
∴a=-1,b=1,即所求区间为[-1,1]。
(2)当
在
上单调递减,在
上单调递增,(证明略);
所以,函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数,从而该函数不是闭函数。
(3)易知
是
上的增函数,符合条件①;
设函数符合条件②的区间为
,
则
,故a,b是
的两个不等根,
即方程组
有两个不等非负实根;
设
为方程的二根,则
,
解得:
,
∴k的取值范围是
。
举一反三
给定函数①
,②
,③
,④
,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是
[ ]
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
题型:单选题
难度:一般
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设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,若f(
)=0,
,那么x的取值范围是
[ ]
A.x>2或
<x<1
B.
<x<2
C.
<x<1
D.x>2
题型:单选题
难度:一般
|
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偶函数y=f(x)在[-2,-1]上有最大值-2,则该函数在[1,2]上的最大值是( )。
题型:填空题
难度:一般
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有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),正实数a与学科知识有关。
(1)当x≥7时,判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133]。当学习某学科知识5次时,掌握程度是70%,请确定相应的学科。(参考数据:e
0.04
=1.04,e
0.4
=1.49)
题型:解答题
难度:一般
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已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,
。
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。
题型:解答题
难度:一般
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