已知函数f(x)=，x∈[1，+∞)。（1）a=时，求f(x)的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围。

题型：解答题难度：困难来源：河南省期末题

已知函数f(x)=，x∈[1，+∞)。
（1）a=时，求f(x)的最小值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围。

答案

解：（1）当a=时，f(x)=x++2，
用函数的单调性定义可证f(x)在 [1，+∞)上为增函数，
∴f(x)在[1，+∞)上的最小值为f(1)=。
（2） 在[1，+∞)上，f(x)=＞0恒成立，等价于x²+2x+a＞0恒成立，
设y=x²+2x+a，x∈[1，+∞)，
∵y=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，在[1，+∞)上递增，
∴当x=1时，y_min=3+a，
于是当且仅当y_min=3+a＞0时，f(x)＞0恒成立，
∴a＞-3，
即a的取值范围是（-3，+∞）。