已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数。(1)判断F(x)在(-∞,0)上的单调性;
题型:解答题难度:一般来源:0112 期末题
已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数。 (1)判断F(x)在(-∞,0)上的单调性; (2)若x≥0时,F(x)=-x(x+1),求函数F(x)的解析式。 |
答案
解:(1)都是定义在R上的奇函数,则函数的定义域为R, , ∴F(x)是奇函数, 设,是(-∞,0)上的任意两实数且, 那么, ∵,且F(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴,即,, ∴F(x)在(-∞,0)上是减函数。 (2)当x<0时,有-x>0,, ∵F(x)是奇函数,则x<0时,, ∴函数F(x)的解析式为。 |
举一反三
(1)若a<0,讨论函数f(x)=x+,在其定义域上的单调性; (2)若a>0,判断并证明f(x)=x+在(0,]上的单调性。 |
已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0。 (1)求f(1); (2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3。 |
设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x1,x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且对任意x>1, f(x)<0。 (Ⅰ)求f(-1)及f(1)的值; (Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性; (Ⅲ)求方程的解。 |
设f(x)为奇函数且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,且x·f(x)>0的解集为 |
[ ] |
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) |
已知(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x)。 (1)求实数a的值; (2)判断函数的单调性,并加以证明。 |
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