设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x1,x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且对任意x>1,f(x)<0。 (Ⅰ)求f(-1)及f(
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设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x1,x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且对任意x>1,f(x)<0。 (Ⅰ)求f(-1)及f(
题型:解答题
难度:困难
来源:0121 期末题
设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x
1
,x
2
恒有f(x
1
x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),且对任意x>1,
f(x)<0。
(Ⅰ)求f(-1)及f(1)的值;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)求方程
的解。
答案
解:(Ⅰ)对任意非零实数
恒有
,
∴令
,代入可得
,
又令
,代入并利用
,可得
。
(Ⅱ)取
,代入,得
,
又函数的定义域为
,
∴函数
是偶函数。
(Ⅲ)函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,证明如下:
任取
且
,则
,由题设有
,
∴
,
∴
,即函数f(x)在
上为单调递增函数;
由(Ⅱ)函数f(x)是偶函数,
∴函数f(x)在
上为单调递减函数;
∴
,
解得:
或x=2,
∴方程
的解集为
。
举一反三
设f(x)为奇函数且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,且x·f(x)>0的解集为
[ ]
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知
(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x)。
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性,并加以证明。
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中,在(0,1)上为单调递减的偶函数是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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函数
的最大值是
[ ]
A、1
B、2
C、
D、
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=-x
3
-x,a,b,c∈R且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值
[ ]
A、一定大于零
B、一定小于零
C、等于零
D、正负都有可能
题型:单选题
难度:一般
|
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