已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x).(1)求f(2 012)的值;(2)求证:函数f(x)的图像关于直线x=2对称;(3)若f(x)在区
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x). (1)求f(2 012)的值; (2)求证:函数f(x)的图像关于直线x=2对称; (3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数,试比较f(-25),f(11),f(80)的大小. |
答案
(1)0 (2)见解析 (3) f(-25)<f(80)<f(11) |
解析
解:(1)因为f(x-4)=-f(x), 所以f(x)=-f(x-4)=-{-f[(x-4)-4]}=f(x-8), 知函数f(x)的周期为T=8. 所以f(2 012)=f(251×8+4)=f(4)=-f(0). 又f(x)为定义在R上的奇函数. 所以f(0)=0,故f(2 012)=0. (2)证明:因为f(x)=-f(x-4), 所以f(x+2)=-f[(x+2)-4]=-f(x-2)=f(2-x), 知函数f(x)的图像关于直线x=2对称. (3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数, 所以f(-25)=f[(-3)×8-1]=f(-1), f(11)=f(8+3)=f(3)=-f(-1)=f(1), f(80)=f(10×8+0)=f(0). 又f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)在R上为奇函数,所以f(x)在[-2,2]上为增函数,则有f(-1)<f(0)<f(1), 即f(-25)<f(80)<f(11). |
举一反三
设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( ) |
对于函数f(x)=acosx+bx2+c,其中a,b,c∈R,适当地选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果只可能是( ) |
已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2007)的值为( ) |
设函数f(x)=为奇函数,则实数a= . |
已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f()的值为 . |
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