(1)证明∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)-f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解 方法一 设x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(x+y)-f(x)=f(y).∵x∈R+,f(x)<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x). ∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. ∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=-, ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. |