已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______. |
答案
∵ex|x-a|≥x, ∴|x-a|≥, ∴x-a≤-或x-a≥, ∴a≥x+或a≤x-, ∵关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立, ∴a≥x+或a≤x-在x∈R上恒成立, 令f(x)=x+,g(x)=x-, ∴a≥x+或a≤x-在x∈R上恒成立, 转化为a≥f(x)max①,或a≤g(x)min②, 下面求解①: ∵f(x)=x+, ∴f′(x)=1+=, 令h(x)=ex-x+1,则h′(x)=ex-1=0,解得x=0, 当x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0, ∴h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, ∴h(x)的最小值为h(0)=2, ∴h(x)>0对x∈R恒成立, ∴f′(x)=>0对x∈R恒成立, ∴f(x)在R上为单调递增函数, 故f(x)无最大值, ∴a无解; 下面求解②: ∵g(x)=x-, ∴g′(x)=1-=, 令m(x)=ex+x-1,则m′(x)=ex+1>0对x∈R恒成立, ∴m(x)在R上为单调递增函数, 又m(0)=0, ∴当x<0时,m(x)<0,即g′(x)<0, 当x>0时,m(x)>0,即g′(x)>0, ∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, ∴当x=0时,g(x)取得最小值g(x)min=0, ∴a≤0. 综合①②,实数a的取值范围为a≤0. |
举一反三
已知函数f(x)=. (1)确定a的值,使f(x)为奇函数; (2)在(1)的条件下,解关于x的不等式f[loga(x+1)]+f[loga()]>0. |
函数f(x)=,满足对任意定义域中的x1,x2(x1≠x2),[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0总成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0) | B.[-1,0) | C.(-1,0) | D.(-1,+∞), |
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已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)利用定义判断函数y=f(x)的单调性; (3)若对任意t∈[0,1],不等式f(2t2+kt)+f(k-t2)>0恒成立,求实数k的取值范围. |
已知命题p:1-a•2x≥0在x∈(-∞,0]恒成立,命题q:∀x∈R,ax2-x+a>0.若命题p或q为真,命题p且q为假,求实数a的范围. |
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,x∈[0,2)时,f(x)=x2,若对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(2)-f(3)的值为______. |
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