已知函数f(x)=a•2x+a-12x+1.(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式f[loga(x+1)]+f[loga
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已知函数f(x)=a•2x+a-12x+1.(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式f[loga(x+1)]+f[loga
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
a•
2
x
+a-1
2
x
+1
.
(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式f[log
a
(x+1)]+f[log
a
(
1
3x-5
)]>0.
答案
(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即
a-
1
2
-x
+1
=-a+
1
2
x
+1
,
则
2a=
1
2
x
+1
+
1
2
-x
+1
=
1
2
x
+1
+
2
x
2
x
+1
=1
,
∴
a=
1
2
.
∴
f(x)=
1
2
-
1
2
x
+1
;
(2)f(x)定义域为(-∞,+∞),原函数即
f(x)=
1
2
-
1
2
x
+1
,易得f(x)为R上的增函数.
由f[log
a
(x+1)]+f[log
a
(
1
3x-5
)]>0.
得f[log
a
(x+1)]>-f[log
a
(
1
3x-5
)]=f[-log
a
(
1
3x-5
)]=f([log
a
(3x-5)],
∵f(x)为R上的增函数.
∴log
a
(x+1)>log
a
(3x-5),
若a>1,则
x+1>3x-5
3x-5>0
,解得
5
3
<x<3
.
若0<a<1,则
x+1<3x-5
x+1>0
,解得x>3.
综上:a>1,不等式的解集为{x|
5
3
<x<3
}.
当0<a<1,不等式的解集为{x|x>3}.
举一反三
函数f(x)=
ax+3,(x≤1)
1
x
+1,(x>1)
,满足对任意定义域中的x
1
,x
2
(x
1
≠x
2
),[f(x
1
)-f(x
2
)](x
1
-x
2
)<0总成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.[-1,0)
C.(-1,0)
D.(-1,+∞),
题型:单选题
难度:简单
|
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已知定义域为R的函数
f(x)=
2
x
-b
2
x
+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)利用定义判断函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意t∈[0,1],不等式f(2t
2
+kt)+f(k-t
2
)>0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知命题p:1-a•2
x
≥0在x∈(-∞,0]恒成立,命题q:∀x∈R,ax
2
-x+a>0.若命题p或q为真,命题p且q为假,求实数a的范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,x∈[0,2)时,f(x)=x
2
,若对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(2)-f(3)的值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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二次函数f(x)=x
2
+2ax+2a+1.
(1)若对任意x∈R有f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)在区间[0,1]上的单调性;
(3)若对任意的x
1
,x
2
∈[0,1]有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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