设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.

设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
答案
(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)
此时,f(x)为偶函数
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a)
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-
1
2
)2+a+
3
4

a≤
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
a>
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2
)=
3
4
+a
,且f(
1
2
)≤f(a)

②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+
1
2
)2-a+
3
4

a≤-
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(-
1
2
)=
3
4
-a
,且f(-
1
2
)≤f(a)

a>-
1
2
,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤-
1
2
时,函数f(x)的最小值为
3
4
-a

-
1
2
<a≤
1
2
时,函数f(x)的最小值为a2+1
a>
1
2
时,函数f(x)的最小值为
3
4
+a
举一反三
若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(  )
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列判断正确的是(  )
A.定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数
B.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)在R上不是减函数
C.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数,则f(x)在R上是减函数
D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
证明:函数f(x)=-2x2+1是偶函数,且在[0,+∞)上是减少的.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时,f(x)是单调的函数,则满足f(x)=f(
x+3
x+4
)
的所有的x的和为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若f(x)为偶函数且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,则x•f(x)<0的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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