函数f(x)=x+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数.
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函数f(x)=x+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数
f(x)=
x+b
1+
x
2
是定义在(-1,1)上的奇函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数.
答案
( I)∵函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,f(-x)=-f(x)…(2分)
故
-x+b
1+
x
2
=-
x+b
1+
x
2
,
所以b=0,…(4分)
所以
f(x)=
x
1+
x
2
.…(5分)
( II)设0<x
1
<x
2
<1,△x=x
2
-x
1
>0,…(6分)
则△y=f(x
2
)-f(x
1
)=
x
2
1+
x
22
-
x
1
1+
x
21
=
x
2
-
x
1
+
x
2
x
21
-
x
1
x
22
(1+
x
21
)(1+
x
22
)
=
(
x
2
-
x
1
)(1-
x
1
x
2
)
(1+
x
21
)(1+
x
22
)
=
△x(1-
x
1
x
2
)
(1+
x
21
)(1+
x
22
)
…(8分)
∵0<x
1
<x
2
<1,
∴△x=x
2
-x
1
>0,1-x
1
x
2
>0…(10分)
∴而
1+
x
21
>0,1+
x
22
>0
,
∴△y=f(x
2
)-f(x
1
)>0…(11分)
∴f(x)在(0,1)上是增函数.…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2且对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成立.
(1)求实数a,b的值;
(2)不等式f(x)≥a
2
-4a-15恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则一定有( )
A.
f(-
3
4
)>f(
a
4
+
a
2
+1)
B.
f(-
3
4
)
≥f(a
4
+a
2
+1)
C.
f(-
3
4
)<f(
a
4
+
a
2
+1)
D.
f(-
3
4
)
≤f(a
4
+a
2
+1)
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数f(x)是奇函数,x∈R,当x>0时,f(x)=x
2
-sinx,求:当x<0时,f(x)的表达式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
p
x
2
+2
-3x
,且
f(2)=-
5
3
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)为偶函数,且x>0时,f(x)=2
x
+1,则x<0时f(x)等于( )
A.2
x
-1
B.2
-x
+1
C.-2
x
+1
D.-2
-x
+1
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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