函数f(x)=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值,其中a,b为常数.(1)求实数a的值;(2)若对∀x>0,不等式f(x)-4b2≤0恒成立,求实数

函数f(x)=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值,其中a,b为常数.(1)求实数a的值;(2)若对∀x>0,不等式f(x)-4b2≤0恒成立,求实数

题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值,其中a,b为常数.
(1)求实数a的值;
(2)若对∀x>0,不等式f(x)-4b2≤0恒成立,求实数b的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=-ax3lnx+3x3-4b,
∴f′(x)=-a(3x2lnx+x2)+9x2
∵f(x)=-ax3lnx+3x3-4b在x=1处取得极值,
∴f′(1)=-a+9=0,解得a=9.
(2)由a=9,知f′(x)=-27x2lnx,x>0,
令f′(x)=0,解得x=1.
∵0<x<1时,f′(x)>0;x>1时,f(x)<0,
∴f(x)的减区间为(1,+∞),f(x)的增区间为(0,1),
∴f(x)max=f(1)=3-4b.
∵对∀x>0,不等式f(x)-4b2≤0恒成立,
∴3-4b-4b2≤0,
解得b≤-
3
2
,或b
1
2

∴b的取值范围是(-∞,-
3
2
]∪[
1
2
,+∞).
举一反三
已知偶函数f(x)定义在[-2,2]上,且在[0,2]上为减函数,则不等式:f(1-m)-f(m)≤0的解m应满足的条件为______.(只要求最多用三个式子写出满足的条件不要求算出m的范围,但能够求出m的范围的也给分.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性,并求当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值及最小值;
(3)在b>


2
的条件下解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=(  )
A.-15B.15C.10D.-10
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)=ax+k经过点(0,4),其反函数y=f-1(x)的图象经过点(7,1),则f(x)在定义域上是(  )
A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)在R上有定义,下列函数:①y=-|f(x)|;②y=|x|•f(x2);③y=-f(-x);④y=f(x)+f(-x)
其中偶函数的有______.(写出所有正确的序号)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.