函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．（1）求实数a的值；（2）若对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，求实数
题型：解答题难度：一般来源：不详
函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．
（1）求实数a的值；
（2）若对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，求实数b的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b，
∴f′（x）=-a（3x2lnx+x2）+9x2，
∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b在x=1处取得极值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x2lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1），
∴f（x）max=f（1）=3-4b．
∵对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，
∴3-4b-4b2≤0，
解得b≤-，或b≥．
∴b的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）． |
举一反三
| 已知偶函数f（x）定义在[-2，2]上，且在[0，2]上为减函数，则不等式：f（1-m）-f（m）≤0的解m应满足的条件为______．（只要求最多用三个式子写出满足的条件不要求算出m的范围，但能够求出m的范围的也给分． |
定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值；
（3）在b＞的条件下解关于x的不等式f(bx2)-f(x)＞f(b2x)-f(b)． |
| 已知f（x）=x7+ax5+bx-5，且f（-3）=5，则f（3）=（ ） |
| 已知函数y=f（x）=ax+k经过点（0，4），其反函数y=f-1（x）的图象经过点（7，1），则f（x）在定义域上是（ ） |
设函数f（x）在R上有定义，下列函数：①y=-|f（x）|；②y=|x|•f（x2）；③y=-f（-x）；④y=f（x）+f（-x）
其中偶函数的有______．（写出所有正确的序号） |
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