对于数列{an},若存在确定的自然数T>0,使得对任意的自然数n∈N*,都有:an+T=an成立,则称数列{an}是以T为周期的周期数列.(1)记Sn=a1+a
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对于数列{an},若存在确定的自然数T>0,使得对任意的自然数n∈N*,都有:an+T=an成立,则称数列{an}是以T为周期的周期数列.(1)记Sn=a1+a
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于数列{a
n
},若存在确定的自然数T>0,使得对任意的自然数n∈N
*
,都有:a
n+T
=a
n
成立,则称数列{a
n
}是以T为周期的周期数列.
(1)记S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,若{a
n
}满足a
n+2
=a
n+1
-a
n
,且S
2
=1007,S
3
=2010,求证:数列{a
n
}是以6为周期的周期数列,并求S
2009
;
(2)若{a
n
}满足
a
1
=p∈[0,
1
2
)
,且a
n+1
=-2a
n
2
+2a
n
,试判断{a
n
}是否为周期数列,且说明理由;
(3)由(1)得数列{a
n
},又设数列{b
n
},其中
b
n
=
a
n
+2n+
2009
2
n
,问是否存在最小的自然数n(n∈N
*
),使得对一切自然数m≥n,都有b
m
>2009?请说明理由.
答案
(1)a
n+6
=a
n+5
-a
n-4
=a
n+4
-a
n+3
-a
n-4
=-a
n+3
=-a
n+2
+a
n+1
=-(a
n+1
-a
n
)+a
n+1
=a
n
,
得T=6
所以,数列{a
n
}是以6为周期的周期数列,
周期为任意正整数--(2分)
又由
a
n+2
=
a
n+1
-
a
n
S
2
=1007
S
3
=2010
,
得a
1
=2,a
2
=1005,a
3
=1003,a
4
=-2,a
5
=-1005,a
6
=-1003S
6
=0,
且数列{a
n
}是以6为周期的周期数列,
所以,S
6n
=0,
所以 S
2009
=S
5
=a
3
=1003--(3分)
(2)当p=0时,a
1
=a
2
=0,a
n+1
=-2a
n
2
+2a
n
=0,
即{a
n
}是周期数列--(5分)
当p≠0,
p∈(0,
1
2
)
时,
a
n+1
=-2
a
2n
+2
a
n
═-2(
a
n
-
1
2
)
2
+
1
2
∈(0,
1
2
)
由已知
a
1
=p∈[0,
1
2
)
,
且a
n+1
=-2a
n
2
+2a
n
,
可得
a
2
∈[0,
1
2
)
,
依此类推可得
a
_
∈[0,
1
2
)
(n∈N
*
)
所以 a
n+1
-a
n
=-2a
n
2
+a
n
=a
n
(1-2a
n
)>0,所以a
n+1
>a
n
即数列{a
n
}是递增数列,非周期数列;--(8分)
(3)由(1)知,S
2
=a
1
+a
2
=a
1
+1005=1007,
所以a
1
=2,a
2
=1005,a
3
=1003,a
4
=-2,a
5
=-1005,a
6
=-1003,
且数列{a
n
}是周期为6的周期数列,
所以(a
n
)
max
=1005(n∈N
*
),(a
n
)
min
=-1005,
且 a
6n+1
=2,a
6n+2
=1003,a
6n+3
=1005,a
6n+4
=-2,
a
6n+5
=-1005,a
6n+6
=-1003,--(9分)
而当n≥12时,
2009
2
n
∈(0,
1
2
)
,
b
n
=
a
n
+2n+
2009
2
n
≥2n-1005+
2009
2
n
>2009
,
即2n≥2009+1005=3014
2n+
2009
2
n
≥1004
,
得n≥1507,即 n≥1507时,
都有b
n
>2009;--(12分)
又
b
1506
=
a
1506
+2×1506+
2009
2
1506
=2009+
2009
2
1506
>2009
b
1505
=
a
1505
+2×1505+
2009
2
1505
=2007+
2009
2
1506
<2009
--(13分)
综上,存在最小的自然数n=1506,
对一切自然数m,当m≥n=1506,
都有b
m
>2009.--(14分)
举一反三
设函数f(x)=x-a-1是定义在R上的奇函数,则a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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a,b∈R,则f(x)=x|sinx+a|+b是奇函数的充要条件是( )
A.a
2
+b
2
=0
B.ab=0
C.
b
a
=0
D.a
2
-b
2
=0
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=-ax
3
1nx+3x
3
-4b在x=1处取得极值,其中a,b为常数.
(1)求实数a的值;
(2)若对∀x>0,不等式f(x)-4b
2
≤0恒成立,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知偶函数f(x)定义在[-2,2]上,且在[0,2]上为减函数,则不等式:f(1-m)-f(m)≤0的解m应满足的条件为______.(只要求最多用三个式子写出满足的条件不要求算出m的范围,但能够求出m的范围的也给分.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性,并求当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值及最小值;
(3)在b>
2
的条件下解关于x的不等式
1
2
f(b
x
2
)-f(x)>
1
2
f(
b
2
x)-f(b)
.
题型:解答题
难度:一般
|
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