已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:(1)对任意的x∈[0,1],总有f(x)>0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:(1)对任意的x∈[0,1],总有f(x)>0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
(1)对任意的x∈[0,1],总有f(x)>0;
(2)f(1)=1;
(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称f(x)为“友谊函数”,请解答下列各题:
①若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值并判断函数的单调性;
②函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由.
答案
①取x1=x2=0,代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),
得f(0)≥f(0)+f(0),化简可得f(0)≤0
又由f(0)≥0,得f(0)=0
设0≤x1<x2≤1,则0<x2-x1<1,
所以f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1
故有f(x1)≤f(x2),故函数f(x)为定义在[0,1]上的增函数;
②显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足(1)g(x)>0;(2)g(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x2-1)(2x1-1)≥0
故g(x)=2x-1满足条件(1)、(2)、(3),
所以g(x)=2x-1为友谊函数.
举一反三
设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且在(0,+∞)递增,f(3)=0,则不等式(x+3)[f(x)-f(-x)]<0的解集是(  )
A.(0,3)B.(-∞,-3)∪(0,3)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-3,0)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=





(
1
e
)x+2,x≤-1
f(x-1),-1<x≤0
,若f (x)≥x+a“对于任意x∈R恒成立,则常数a的取值范围是(  )
A.(-∞,
1
e
-2)
B.(-∞,-2]C.(-∞,
1
e
-1]
D.(-∞,-1]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知y=f(x)是奇函数,且f(3)=7,则f(-3)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如果奇函数f(x)在(3,7)上是增函数,且f(4)=5,则函数f(x)在(-7,-3)上是(  )
A.增函数且f(-4)=-5B.增函数且f(-4)=5
C.减函数且f(-4)=-5D.减函数且f(-4)=5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex
(1)求g(x),h(x)的解析式;
(2)解不等式h(x2+2x)+h(x-4)>0;
(3)若对任意x∈[ln2,ln3]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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