试题分析:(1)f′(x)=x2-2ax+a2-1, 2分 ∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2, 3分 ∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=-a+a2-1+b, 又f′(1)=-1,∴a2-2a+1=0, 解得a=1,b=. 6分 (2)∵f(x)=x3-x2+,∴f′(x)=x2-2x, 由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有
x
| (-∞,0)
| 0
| (0,2)
| 2
| (2,+∞)
| f′(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
|
| 极大值
|
| 极小值
|
| 8分 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2). 10分 ∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8, ∴在区间[-2,4]上的最大值为8. 13分 点评:我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程,尤其要注意切点这个特殊点,充分利用切点即在曲线方程上,又在切线方程上,切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 |