已知函数f(x)=12x-1+a是奇函数.(1)求常数a的值;(2)判断f(x)的单调性并给出证明.
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已知函数f(x)=12x-1+a是奇函数.(1)求常数a的值;(2)判断f(x)的单调性并给出证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
2
x
-1
+a是奇函数.(1)求常数a的值;(2)判断f(x)的单调性并给出证明.
答案
(1)函数f(x)=
1
2
x
-1
+a是奇函数,可得f(x)+f(-x)=0
∴
1
2
x
-1
+a+
1
2
-x
-1
+a=0,解得a=
1
2
∴函数f(x)=
1
2
x
-1
+
1
2
(2)由(1)得f(x)=
1
2
x
-1
+
1
2
在(-∞,0)与(0,+∞)上都是减函数,证明如下
任取x
1
<x
2
则
f(x
1
)-f(x
2
)=
1
2
x
1
-1
-
1
2
x
2
-1
=
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
-1)(
2
x
2
-1)
当x
1
,x
2
∈(0,+∞)时,
2
x
1
-1
>0,
2
x
2
-1
>0,
2
x
2
-
2
x
2
>0
,所以
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
-1)(
2
x
2
-1)
>0,
有f(x
1
)-f(x
2
)>0
当x
1
,x
2
∈(-∞,0)时,
2
x
1
-1
<0,
2
x
2
-1
<0,
2
x
2
-
2
x
1
>0
,所以
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
-1)(
2
x
2
-1)
>0,
有f(x
1
)-f(x
2
)>0
综上知,
f(x)=
1
2
x
-1
+
1
2
在(-∞,0)与(0,+∞)上都是减函数
举一反三
已知函数
m(x)=lo
g
4
(
4
x
+1),n(x)=kx
(k∈R).
(1)当x>0时,F(x)=m(x),且F(x)为R上的奇函数.求x<0时,F(x)的表达式;
(2)若f(x)=m(x)+n(x)为偶函数,求k的值;
(3)对(2)中的函数f(x),设
g(x)=lo
g
4
(
2
x-1
-
4
3
a)
,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)在(-∞,2]为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是( )
A.a≤1
B.a≥3
C.1≤a≤3
D.a≤1或a≥3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的函数,有下列三个性质:
①函数f(x)图象的对称轴是x=2
②在(-∞,0)上f(x)单增
③f(x)有最大值4
请写出上述三个性质都满足的一个函数f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数f(x)=1+2mx+(m
2
-1)x
2
是偶函数,则m=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
x
2
+1 ,x≤0
ln(x+1) ,x>0
,若f(x)>kx对任意的x∈R恒成立,则k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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