(1)∵x>0时,F(x)=m(x)=log4(4x+1), ∴当x<0时,-x>0, ∴F(-x)=log4(4-x+1),又F(x)为R上的奇函数, ∴-F(x)=log4(4-x+1),即F(x)=-log4(4-x+1)…(3分) (2)∵函数f(x)=m(x)+n(x)=log4(4x+1)+kx为偶函数, ∴f(-x)=f(x)即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,…(5分) 而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x, ∴-x-kx=kx恒成立, ∴2k+1=0, ∴k=-…(7分) (3)∵函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点, ∴方程log4(4x+1)-x=log4(2x-1-a)有且只有一个实根,…(8分) 化简得:方程2x+=2x-1-a有且只有一个实根,…(9分) 令t=2x>0,则方程t2+at+1=0有且只有一个正根, ①△=0⇒a=-, ②若一个正根和一个负根,不满足题意…(11分) 所以实数a的取值范围为{a|a=-}…(12分) |