在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆的一条弦,直线AB的方程为x=m.记以AB为直径的圆为⊙C,记以点F为右焦点、短

在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆的一条弦,直线AB的方程为x=m.记以AB为直径的圆为⊙C,记以点F为右焦点、短

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在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆的一条弦,直线AB的方程为x=m.记以AB为直径的圆为⊙C,记以点F为右焦点、短半轴长为b(b>0,b为常数)的椭圆为D.
(1)求⊙C和椭圆D的标准方程;
(2)当b=1时,求证:椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部;
(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点(点P在x轴上方),点P关于x轴的对称点为N,设直线QN交x轴于点L,试判断是否为定值?并证明你的结论.
答案
解:(1)圆心C(m,0),(﹣1<m<1),
则⊙C的半径为:r=
从而⊙C的方程为(x﹣m)2+y2=1﹣m2
椭圆D的标准方程为:
(2)当b=1时,椭圆D的方程为
设椭圆D上任意一点S(x1,y1),

==≥1﹣m2=r2
所以SC≥r.从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部.
(3)=b2+1为定值.
证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则由题意,得N(x1,﹣y1),x1≠x2,y1≠±y2
从而直线PQ的方程为(y2﹣y1)x﹣(x2﹣x1)y+x2y1﹣x1y2=0,
令y=0,得
∵直线QN的方程为(y2+y1)x﹣(x2﹣x1)y﹣x1y2﹣x2y1=0,
令y=0,得
∵点P,Q在椭圆D上,


∴xM·xL==
=b2+1.
=xM·xL=b2+1为定值.
举一反三
已知椭圆,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若=(   ).
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如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6,那么点P到另一个焦点的距离是[     ]
A.12
B.14
C.16
D.20
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已知点P是椭圆上的一点,且以P及两焦点为顶点的三角形的面积为,求点P的坐标(   )
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已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2为正三角形,则该椭圆的离心率e是[     ]
A.
B.
C.
D.
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如图,F1、F2分别是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°。
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b 的值。
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