若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.

若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.

题型:填空题难度:一般来源:徐州一模
若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
∵x>0,y>0
∴x+y+3=xy≤(
x+y
2
)2

∴x+y≥6
由(x+y)2-a(x+y)+1≥0可得a≤x+y+
1
x+y
恒成立
令x+y=t,f(t)=t+
1
t
在[6,+∞)上单调递增,则当t=6时f(t)min=f(6)=
37
6

∴a≤
37
6

故答案为:a≤
37
6
举一反三
设a、b∈R,且a≠-2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg
1+ax
1-2x
是奇函数,则ab的取值范围是______.
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设f(x)=ax+b(其中a,b为实数),f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,3,…,若2a+b=-2,且fk(x)=-243x+244,则k=______.
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已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
1n2
3
+
1n3
4
+
1n4
5
+…
1nn
n+1
n(n-1)
4
(n∈N*
且n>1)
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对于x∈(1,2],关于x的不等式
lg2ax
lg(a+x)
<1总成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=
x2
ex

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=x2+mx,h(x)=ex-1,若在(0,+∞)上至少存在一点x0,使得g(x0)>h(x0)成立,求m的范围.
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