已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:1n23+1n
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已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:1n23+1n
题型:解答题
难度:一般
来源:滨州一模
已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
1n2
3
+
1n3
4
+
1n4
5
+…
1nn
n+1
<
n(n-1)
4
(n∈
N
*
且n>1)
答案
(1)∵f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1,
∴x>1,
f
′
(x)=
1
x-1
-k
,
∵x>1,∴当k≤1时,
f
′
(x)=
1
x-1
-k
>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当k>0时,f(x)在(1,1+
1
k
)上是增函数,在(1+
1
k
,+∞)上为减函数.
(2)∵f(x)≤0恒成立,
∴∀x>1,ln(x-1)-k(x1)+1≤0,
∴∀x>1,ln(x-1)≤k(x-1)-1,
∴k>0.
由(1)知,f(x)
max
=f(1+
1
k
)=ln
1
k
≤0,
解得k≥1.
故实数k的取值范围是[1,+∞).
(3)令k=1,则由(2)知:ln(x-1)≤x-2对x∈(1,+∞)恒成立,
即lnx≤x-1对x∈(0,+∞)恒成立.
取x=n
2
,则2lnn≤n
2
-1,
即
lnn
n+1
≤
n-1
2
,n≥2,
∴
1n2
3
+
1n3
4
+
1n4
5
+…
1nn
n+1
<
n(n-1)
4
(n∈
N
*
且n>1).
举一反三
对于x∈(1,2],关于x的不等式
lg2ax
lg(a+x)
<1总成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
x
2
e
x
.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=x
2
+mx,h(x)=e
x
-1,若在(0,+∞)上至少存在一点x
0
,使得g(x
0
)>h(x
0
)成立,求m的范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=x+
2
x
( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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