已知函数f(x)=x2ex.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=x2+mx,h(x)=ex-1,若在(0,+∞)上至少存在一点x0,使得g(x0)
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已知函数f(x)=x2ex.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=x2+mx,h(x)=ex-1,若在(0,+∞)上至少存在一点x0,使得g(x0)
题型:解答题
难度:一般
来源:浙江模拟
已知函数f(x)=
x
2
e
x
.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=x
2
+mx,h(x)=e
x
-1,若在(0,+∞)上至少存在一点x
0
,使得g(x
0
)>h(x
0
)成立,求m的范围.
答案
(Ⅰ)∵f′(x)=
2x-x
2
e
x
,
∴由f′(x)>0得:0<x<2;
由f′(x)<0得:x<0或x>2;
∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增;
(Ⅱ)在(0,+∞)上至少存在一点x
0
,使得g(x
0
)>h(x
0
)成立,即不等式g(x)>h(x)在(0,+∞)有解,
即:m>
e
x
-x
2
-1
x
(x>0)有解,
记φ(x)=
e
x
-x
2
-1
x
(x>0),则m>φ(x)
min
,
φ′(x)=
xe
x
-x
2
-e
x
+1
x
2
=
(x-1)
(e
x
-x-1)
x
2
,
令t(x)=e
x
-x-1,t′(x)=e
x
-1,
∵x>0,
∴e
x
>1,
∴t′(x)>0,
∴t(x)>t(0)=0,
∴φ(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,
∴φ(x)
min
=φ(1)=e-2,
∴m的取值范围是(e-2,+∞).
举一反三
函数
f(x)=x+
2
x
( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),求f(1998)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设对所有实数x,不等式
x
2
lo
g
2
4(a+1)
a
+2xlo
g
2
2a
a+1
+lo
g
2
(a+1
)
2
4
a
2
>0恒成立,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数
f
n
(x)=
x
n
+bx+c(n∈
N
*
,b,c∈R)
.
(1)当n=2,b=1,c=-1时,求函数f
n
(x)在区间
(
1
2
,1)
内的零点;
(2)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f
n
(x)在区间
(
1
2
,1)
内存在唯一的零点;
(3)设n=2,若对任意x
1
,x
2
∈[-1,1],有|f
2
(x
1
)-f
2
(x
2
)|≤4,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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