已知f(x)=x2-6x-3x+1,g(x)=x3-3a2x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1](1)求函数f(x)的最小值;(2)判断函数g(x)的单
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已知f(x)=x2-6x-3x+1,g(x)=x3-3a2x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1](1)求函数f(x)的最小值;(2)判断函数g(x)的单
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=
x
2
-6x-3
x+1
,g(x)=x
3
-3a
2
x-2a(a≥1),且它们定义域均为[0,1]
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)判断函数g(x)的单调性并予以证明;
(3)若对任意t∈[0,1],总有g(x)≤f(t)在x∈[0,1]时恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)由题意,
f
/
(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
令
f
/
(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
=0
得x=-3或x=1
∵函数定义域为[0,1]
∴x=1时,函数f(x)的最小值-4;
(2)g′(x)=3x
2
-3a
2
=3(x+a)(x-a)
∵函数定义域为[0,1],a≥1
∴函数g(x)的单调减区间是[0,1],
(3)由(1)知,函数f(x)的最小值为-4,所以问题等价为 x
3
-3a
2
x-2a≤-4(a≥1),在x∈[0,1]时恒成立
由(2)知,x=0时,函数g(x)取得最大值,所以-2a≤-4,故a≥2.
举一反三
已知函数f(x)=log
2
1-x
1+x
,若f(a)=
1
2
,则f(-a)=( )
A.2
B.-2
C.
1
2
D.-
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
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在给定的函数中:①y=-x
3
;②y=2
-x
;③y=sinx;④y=
1
x
,既是奇函数又在定义域内为减函数的是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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下列函数f(x)中,满足“∀x
1
,x
2
∈(0,+∞)且x
1
≠x
2
,(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0“的是( )
A.f(x)=2
x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=
1
x
-x
D.f(x)=ln(x+1)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(
1
2
)=2,则不等式f(2
x
)>2的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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MQ
=λ
MN
,
PQ
•i=0(其中0<λ<1,i为x轴上的单位向量),若|
PQ
|≤T(T为常数)在区间[m,n]上恒成立,则称y=f(x)在区间[m,n]上具有“T级线性逼近”.现有函数:①y=2x+1;②y=
1
x
;③y=x
2
.则在区间[1,2]上具有“
1
4
级 线性逼近”的函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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