(1)∵a1=1,an+1=2an+2n(n∈N*),∴=+,-=.…(3分) ∴数列{}是以为首项,公差为的等差数列,且=+(n-1).…(5分) ∴an=n•2n-1(n∈N*).…(6分) (2)设等差数列{bn}的首项为b1,公差为d,则bn=b1+(n-1)d(n∈N*).…(7分) 考察等差数列,易知:b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1. 又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1,利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1, 两式相加,利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简,得(b1+bn+1)(Cn0+Cn1+…+Cnn)=2an+1,即b1+bn+1=2n+2.…(10分) 再分别令n=1,n=2,得,进一步可得.…(11分) 因此,满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1(n∈N*).…(12分) (3)结论: 存在正常数M(只要M>6即可)使得+++…+<M对n∈N*恒成立.(13分) 证明 由(2)知,bn=2n-1,于是,cn=n(2n-1),==.…(14分) 记A=++…+,则A=+++…++,A=+++…++.此两式相差,得A=++++…+-.进一步有A=6--<6.…(18分) 所以,当且仅当正常数M>6时,+++…+<M对n∈N*恒成立. |