已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x3+mx2+(1-m)x.(I)当m=2时,求f(x)的解析式;(II)设曲线y=f(x)在x=
题型:解答题难度:一般来源:海淀区一模
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x3+mx2+(1-m)x. (I)当m=2时,求f(x)的解析式; (II)设曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率为k,且对于任意的x0∈[-1,1]-1≤k≤9,求实数m的取值范围. |
答案
(I)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0. 当x>0时,f(x)=2x3+mx2+(1-m)x. 当x<0时,∵f(x)=-f(-x)∴f(x)=-(-2x3+mx2-(1-m)x)=2x3-mx2+(1-m)x∴f(x)= | 2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) | 2x3-mx2+(1-m)x(x<0) |
| | . 当m=2时,∴f(x)= | 2x3+2x2-x,(x≥0) | 2x3-2x2-x(x<0) |
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(Ⅱ)由(I)得:∴f′(x)= | 6x2+2mx+(1-m),(x≥0) | 6x2-2mx+(1-m),(x<0) |
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曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率,对任意的x0∈[-1,1],总能不小于-1且不大于9, 则在任意x0∈[-1,1]时,-1≤f"(x)≤9恒成立, ∵f"(x)是偶函数 ∴对任意x0∈(0,1]时,-1≤f"(x0)≤9恒成立 10当-≤0时,由题意得 ∴0≤m≤2 20当0<-≤1时 ∴ ∴-6≤m<0 30当->1时∴ ∴-8≤m<-6 综上:-8≤m≤2 ∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}. |
举一反三
设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时f(x)取得极大值,且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称. (1)求函数f(x)的表达式; (2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间[-,]上. |
函f(x)=2x-2-x在定义域上是( )A.偶函数 | B.奇函数 | C.既是奇函数又是偶函数 | D.既不是奇函数也不是偶函数 |
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已知函数:(1)f(x)=,(2)f(x)=x3-x;(3)f(x)=cosx;(4)f(x)=ex-x;(5)f(x)=log2x 其中f(x)对于区间(0,1)上的任意两个值x1,x2(x1≠x2),恒有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立的函数序号是______(请把你认为正确的函数序号都填上). |
已知函数f(x)=-(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数). (I)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围. |
函数y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)无零点,设F(x)=f2(x)+f2(-x),则对于函数y=F(x)有如下四种说法:①定义域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函数;④在定义域内单调递增.其中正确的说法是( ) |
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