定义在R上的函数y=f（x）既是奇函数又是周期函数，若函数y=f（x）的最小正周期是2，且当x∈（0，1）时，f（x）=log12（1-x），则f（x）在区间（

题型：单选题难度：简单来源：海淀区一模

定义在R上的函数y=f（x）既是奇函数又是周期函数，若函数y=f（x）的最小正周期是2，且当x∈（0，1）时，f（x）=log

1

2

（1-x），则f（x）在区间（1，2）上是（　　）

A．增函数且f（x）＞0	B．增函数且f（x）＜0
C．减函数且f（x）＞0	D．减函数且f（x）＜0

答案

当x∈（-1，0）时，可得f（-x）=log

1

2

[1-(-x)]=log

1

2

(1+x)，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x∈（-1，0）时，f（-x）=-f（x）=log

1

2

(1+x)，可得f（x）=log

1

2

(1+x)^-1=log

1

2

1

1+x

又∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x）在区间（1，2）的单调性、值域与f（x）在区间（-1，0）上的单调性、值域相同
∵t=

1

1+x

在区间（-1，0）上是减函数，得t=

1

1+x

＜1
∴结合0＜

1

2

＜1，可得log

1

2

1

1+x

＞0，且f（x）在区间（1，2）是增函数
故选：B