定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n>0,则不等式f(x+12)+f(2x-1)<0的解集是______
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定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n>0,则不等式f(x+12)+f(2x-1)<0的解集是______
题型:填空题
难度:一般
来源:静海县一模
定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,则不等式
f(x+
1
2
)+f(2x-1)<0
的解集是______.
答案
∵定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,
∴m+n>0时,f(m)+f(n)>0或m+n<0时,f(m)+f(n)<0
∴m>-n时,f(m)>-f(n)=f(-n)或m<-n时,f(m)<-f(n)=f(-n)
∴定义在[-1,1]上的奇函数单调递增
∵
f(x+
1
2
)+f(2x-1)<0
∴
f(x+
1
2
)<-f(2x-1)
∴
f(x+
1
2
)<f(-2x+1)
∴
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤-2x+1≤1
x+
1
2
<-2x+1
∴
0≤x<
1
6
∴不等式的解集为{x|
0≤x<
1
6
}.
举一反三
若函数f(x)=(x+a)3
x-2+a
2
-(x-a)3
8-x-3a
为偶函数,则所有实数a的取值构成的集合为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
2
-2
a
2
x+1 (a>0)
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;
(3)已知不等式f"(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+(b
2
-1)x+1图象的对称中心为(0,1);函数
g(x)=a
x
3
+
1
2
sinθ•
x
2
-2x
在 区间[-2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求sinθ的值及g(x)的解析式;
(Ⅲ)设φ(x)=f(x)-g(x),试证:对任意的x
1
、x
2
∈(1,+∞)且x
1
≠x
2
,都有|φ(x
2
)-φ(x
1
)|>2|x
2
-x
1
|.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+bsinx-2,(b∈R),且对任意x∈R,有f(-x)=f(x)
(1)求b的值;
(2)已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上为单调增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=
2
sin(2x-π)cos(x+π)是( )
A.周期为
π
4
的奇函数
B.周期为
π
4
的偶函数
C.周期为
π
2
的奇函数
D.周期为
π
2
的偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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