已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1 (a>0)(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的
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已知函数f(x)=13x3-a2x2-2a2x+1 (a>0)(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的
题型:解答题
难度:一般
来源:茂名一模
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
2
-2
a
2
x+1 (a>0)
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;
(3)已知不等式f"(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
答案
(1)∵f′(x)=x
2
-ax-2a
2
,令f′(x)=x
2
-ax-2a
2
=0,则 x=-a或x=2a
f′(x)=x
2
-ax-2a
2
>0时,x<-a或x>2a
x=-a时,f(x)取得极大值f(-a)=
7
6
a
3
+1
,x=2a时,f(x)取极小值
f(2a)=
-
10
3
a
3
+1
(2)要使函数y=f(x)的图象与值线y=0恰有三个交点,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零,由(1)的极值可得
7
6
a
3
+1>0
-
10
3
a
3
+1<0
解之得
a>
3
3
10
=
3
300
10
(3)要使f′(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立
即x
2
-ax-2a
2
<x
2
-x+1,
(1-a)x<2a
2
+1
∵a∈(1,+∞)∴1-a<0
x>
2
a
2
+1
1-a
对任意a∈(1,+∞)都成立,则x大于
2
a
2
+1
1-a
的最大值
∵
2
a
2
+1
1-a
=-
2
(a-1)
2
+4(a-1)+3
a-1
=-[2(a-1)+
3
a-1
+4]
由a∈(1,+∞),
a-1>0,∴2(a-1)+
3
a-1
≥2
6
,
当且仅当
a=1+
6
2
时取等号,∴
2
a
2
+1
1-a
≤-(2
6
+4)
故
x>(
2
a
2
+1
1-a
)
max
=-(4+2
6
)
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+(b
2
-1)x+1图象的对称中心为(0,1);函数
g(x)=a
x
3
+
1
2
sinθ•
x
2
-2x
在 区间[-2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求sinθ的值及g(x)的解析式;
(Ⅲ)设φ(x)=f(x)-g(x),试证:对任意的x
1
、x
2
∈(1,+∞)且x
1
≠x
2
,都有|φ(x
2
)-φ(x
1
)|>2|x
2
-x
1
|.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
+bsinx-2,(b∈R),且对任意x∈R,有f(-x)=f(x)
(1)求b的值;
(2)已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上为单调增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数y=
2
sin(2x-π)cos(x+π)是( )
A.周期为
π
4
的奇函数
B.周期为
π
4
的偶函数
C.周期为
π
2
的奇函数
D.周期为
π
2
的偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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己知函数
f(x)=
2
x
-a(x≥3)
x
2
-9
x-3
(x<3)
,在x=3处连续,则常数a的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:单选题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x
2
,若对任意的x∈[t-2,t],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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