已知a>0,设函数f(x)=alnx-2a•x+2a,g(x)=12(x-2a)2.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值;(Ⅱ)若e是自然对数的底数
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已知a>0,设函数f(x)=alnx-2a•x+2a,g(x)=12(x-2a)2.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值;(Ⅱ)若e是自然对数的底数
题型:解答题
难度:一般
来源:丹东模拟
已知a>0,设函数
f(x)=alnx-2
a
•x+2a
,
g(x)=
1
2
(x-2
a
)
2
.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值;
(Ⅱ)若e是自然对数的底数,当a=e时,是否存在常数k、b,使得不等式f(x)≤kx+b≤g(x)对于任意的正实数x都成立?若存在,求出k、b的值,若不存在,请说明理由.
答案
(I)∵h(x)=f(x)-g(x)=alnx-2
a
x+2a
-
1
2
(x
-2
a
)
2
=alnx-
1
2
x
2
(x>0)(2分)
对函数h(x)求导可得,
h
′
(x)=
a
x
-x=
-(x+
a
)(x-
a
)
x
∵x>0
∴当
0<x<
a
时,h′(x)>0,h(x)在(0,
a
)上单调递增,
当x
>
a
时,h′(x)<0,h(x)在(
a
,+∞)上单调递减
∴x=
a
是函数h(x)唯一的极大值即是函数的最大值h(
a
)=
alna-a
2
(4分)
(II)当a=e时,h(x)=f(x)-g(x)的最大值为0
即f(x)≤g(x),当且仅当x=
e
时取等号(6分)
∴函数f(x,g(x)的图象在x=
e
处有且仅有一个公共点(
e
,
e
2
)
∵
f
′
(x)=
e
x
-2
e
,函数f(x)的图象在x=
e
处的切线斜率k=-
e
g
′
(x)=x-2
e
,函数g(x)在x=
e
处的切线斜率k=-
e
∴f(x)与g(x)的图象在x=
e
处有公共的切线方程为y=-
e
x+
3e
2
(8分)
设
F(x)=f(x)-(-
e
x+
3e
2
)=elnx-
e
x+
e
2
,
F′(x)=
e
x
-
e
=-
e
(x-
e
)
x
x
(0,
e
)
e
(
e
,+∞)
F"(x)
+
0
-
F(x)
↑
极大值
↓
举一反三
函数
y=
1-
x
2
|x+4|+|x-3|
是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,则不等式
f(x+
1
2
)+f(2x-1)<0
的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数f(x)=(x+a)3
x-2+a
2
-(x-a)3
8-x-3a
为偶函数,则所有实数a的取值构成的集合为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
2
-2
a
2
x+1 (a>0)
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;
(3)已知不等式f"(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+(b
2
-1)x+1图象的对称中心为(0,1);函数
g(x)=a
x
3
+
1
2
sinθ•
x
2
-2x
在 区间[-2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求sinθ的值及g(x)的解析式;
(Ⅲ)设φ(x)=f(x)-g(x),试证:对任意的x
1
、x
2
∈(1,+∞)且x
1
≠x
2
,都有|φ(x
2
)-φ(x
1
)|>2|x
2
-x
1
|.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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