设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[-1,1]).(1)若t>0,求f(x)的最小值h(t);(2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(
题型:解答题难度:一般来源:深圳模拟
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[-1,1]). (1)若t>0,求f(x)的最小值h(t); (2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1, ①若-t<-1,即t>1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)的最小值为f(-1)=-2t2+2t-1; ②若-1≤-t<0,即0<t≤1时,则f(x)在[-1,1]上的最小值为f(-t)=-t3+t-1; ∴h(t)=. (6分) (2)令g(t)=h(t)+2t=. (7分) ①0<t≤1时,由g′(t)=-3t2+3≥0, ∴g(t)在(0,1]单调递增;(9分) ②1<t≤2时,g(t)=-2t2+4t-1=-2(t-1)2+1g(t)在(1,2]上单调递减, 由①、②可知,g(t)在区间(0,2]上的最大值为g(1)=1.(11分) 所以h(t)<-2t+m2+4m在(0,2]内恒成立,等价于g(t)<m2+4m在(0,2]内恒成立, 即只要1<m2+4m, 解m2+4m-1>0得:m<-2-或m>-2+ 所以m的取值范围为(-∞, -2-)∪(-2+, +∞). (14分) |
举一反三
设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=cosx+x+b(b为一常数)则f(-)=______. |
已知函数f(x)=x2+ax-(a+1)lnx(a<-1). (1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值; (2)已知函数g(x)=4lnx-2x+ln(b2-2b),在(1)的条件下,若f(x)>g(x)恒成立,求b的取值范围. |
已知a>0,设函数f(x)=alnx-2•x+2a,g(x)=(x-2)2. (Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值; (Ⅱ)若e是自然对数的底数,当a=e时,是否存在常数k、b,使得不等式f(x)≤kx+b≤g(x)对于任意的正实数x都成立?若存在,求出k、b的值,若不存在,请说明理由. |
函数y=是( )A.奇函数 | B.偶函数 | C.非奇非偶函数 | D.既是奇函数又是偶函数 |
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定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有>0,则不等式f(x+)+f(2x-1)<0的解集是______. |
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