已知函数f(x)=12x2+ax-(a+1)lnx(a<-1).(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;(2)已知函数g(x

已知函数f(x)=12x2+ax-(a+1)lnx(a<-1).(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;(2)已知函数g(x

题型:解答题难度:一般来源:蓝山县模拟
已知函数f(x)=
1
2
x2+ax-(a+1)lnx
(a<-1).
(1)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值,并求出函数的极值;
(2)已知函数g(x)=4lnx-2x+ln(b2-2b),在(1)的条件下,若f(x)>g(x)恒成立,求b的取值范围.
答案
(1)∵函数f(x)=
1
2
x2+ax-(a+1)lnx
(a<-1)
∴f(x)的定义域为(0,+∞)且f′(x)=x+a-
a+1
x
=
x2+ax-(a+1)
x
,(1分)
∵f(x)在x=2处的切线与x轴平行
∴f"(2)=0
∴a=-3,(3分)此时f"(x)=
(x-1)(x-2)
x

∴当x∈(0,1)时f(x)>0,x∈(1,2)时f(x)<0,x∈(2,+∞)时f(x)>0
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
∴当x=1时,f(x)有极大值f(1)=-
5
2

当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-4+2ln2.(6分)
(2)令F(x)=f(x)-g(x)
则F(x)的定义域为(0,+∞),F(x)=
1
2
x2-3x+2lnx
-4lnx+2x-ln(b2-2b)=
1
2
x2-x-2lnx
-ln(b2-2b)(x>0),
∴F′(x)=x-1-
2
x
=
x2-x-2
x
=
(x-2)(x+1)
x
.                                (8分)
∴当0<x<2时,F′(x)<0,所以F(x)在(0,2)上单调递减;
当x>2时,F′(x)>0,所以F(x)在(2,+∞)上单调递增.
∴当x=2时,F(x)min=2-2-2ln2-ln(b2-2b)=-2ln2-ln(b2-2b),
∴要使在(1)的条件下,若f(x)>g(x)恒成立只需要F(x)min=-2ln2-ln(b2-2b)>0
即ln(b2-2b)<-2ln2=ln
1
4
(11分)





b2-2b>0
b2-2b<
1
4





b>2或b<0
2-


5
2
<b<
2+


5
2
2-


5
2
<b<0或2<b<
2+


5
2
(13分).
举一反三
已知a>0,设函数f(x)=alnx-2


a
•x+2a
g(x)=
1
2
(x-2


a
)2

(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值;
(Ⅱ)若e是自然对数的底数,当a=e时,是否存在常数k、b,使得不等式f(x)≤kx+b≤g(x)对于任意的正实数x都成立?若存在,求出k、b的值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=


1-x2
|x+4|+|x-3|
是(  )
A.奇函数B.偶函数
C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,则不等式f(x+
1
2
)+f(2x-1)<0
的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=(x+a)3 x-2+a 2-(x-a)38-x-3a为偶函数,则所有实数a的取值构成的集合为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2-2a2x+1   (a>0)

(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围;
(3)已知不等式f"(x)<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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