已知函数f(x)=x22+ax+b,其中a、b∈R,g(x)=ex(e是自然对数的底).(1)当b<a<1,f(1)=0,且函数y=2f(x)+1的零点,证明:
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已知函数f(x)=x22+ax+b,其中a、b∈R,g(x)=ex(e是自然对数的底).(1)当b<a<1,f(1)=0,且函数y=2f(x)+1的零点,证明:
题型:解答题
难度:一般
来源:安徽模拟
已知函数
f(x)=
x
2
2
+ax+b
,其中a、b∈R,g(x)=e
x
(e是自然对数的底).
(1)当b<a<1,f(1)=0,且函数y=2f(x)+1的零点,证明:
-
3
2
<b≤-
1
2
;
(2)当b=1时,若不等式f(x)≤g(x)在
x∈(
1
2
,+∞)
恒成立,求a的取值范围.
答案
(I)由f(1)=0,得a=-
2b+1
2
又b<a<1,
∴b<-
2b+1
2
<1,
解得-
3
2
<b<-
1
4
①
且函数y=2f(x)+1的零点,即x
2
+2ax+2b+1=0有实根
∴△=4a
2
-4(2b+1)≥0
将a=-
2b+1
2
代入化简得:4b
2
-4b-3≥0
解得b≤-
1
2
或b≥
3
2
②
由①②得-
3
2
<b≤-
1
2
.
(II)当b=1时,
f(x)=
x
2
2
+ax+1
,由式f(x)≤g(x),
得
ax≤
e
x
-
1
2
x
2
-1
在
x∈(
1
2
,+∞)
恒成立,
即
a≤
e
x
-
1
2
x
2
-1
x
在
x∈(
1
2
,+∞)
恒成立,
令
g(x)=
e
x
-
1
2
x
2
-1
x
,则
g′(x)=
e
x
(x-1)-
1
2
x
2
+1
x
2
令
h(x)=
e
x
(x-1)-
1
2
x
2
+1
,则h"(x)=x(e
x
-1)
∵
x∈(
1
2
,+∞)
∴h′(x)>0
即h(x)在
(
1
2
,+∞)
上单调递增
∴h(x)≥h(
1
2
)=
7
8
-
e
2
>0
∴g"(x)>0
∴g(x)在
x∈(
1
2
,+∞)
单调递增
则g(x)≥g(
1
2
)=
e
1
2
-
1
8
-1
1
2
=2
e
-
9
4
故a≤2
e
-
9
4
举一反三
已知函数
f(x)=
p
x
2
+2
q-3x
是奇函数,且
f(2)=-
5
3
,求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(n)对任意实数n都满足条件:
f(n+1)=
1
f(n)
,若f(1)=8,则f(2009)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则
f(1),f(
5
2
),f(
7
2
)
的大小关系是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=xlnx,g(x)=-
2
3
x
3
+
1
2
a
x
2
-3bx+c(a,b,c∈R)
.
(1)若函数h(x)=f′(x)-g′(x)是其定义域上的增函数,求实数a的取值范围;
(2)若g(x)是奇函数,且g(x)的极大值是
g(
3
3
)
,求函数g(x)在区间[-1,m]上的最大值;
(3)证明:当x>0时,
f′(x)>
1
e
x
-
2
ex
+1
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=lnx,
g(x)=
1
2
x
2
,
(I)设函数F(x)=ag(x)-f(x)(a>0),若F(x)没有零点,求a的取值范围;
(II)若x
1
>x
2
>0,总有m[g(x
1
)-g(x
2
)]>x
1
f(x
1
)-x
2
f(x
2
)成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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