已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+2ax(a>0),(1)当a=1时,求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值;   (2)|ag(x)+3f(x)f

已知函数f(x)=x+a,g(x)=x+2ax(a>0),(1)当a=1时,求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值;   (2)|ag(x)+3f(x)f

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=


x
+a,g(x)=x+2a


x
(a>0)

(1)当a=1时,求|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|
的最小值;  
(2)|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|>5
对x∈[1,4]恒成立,求实数a的取值范围.
答案
f(x)=


x
+a=t
,则g(x)=t2-a2|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
at2+3t-a3
t
|

(1)当a=1时,t≥1,故t-
1
t
+3=
(t-1)(t+1)
t
+3≥3
,因此|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|=|
t2+3t-1
t
|=|t-
1
t
+3|≥3
,当且仅当t=1即x=0时取等号.
所以|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|
的最小值是3;
(2)由x∈[1,4]得t∈[1+a,2+a],由|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|>5
整理可得at2-2t-a3>0①或at2+8t-a3<0②.因此①式或②式对于任意的t∈[1+a,2+a]恒成立.显然at2+8t-a3=a(t2-a2)+8t>0,故②式不成立.
令φ(t)=at2-2t-a3,因为△=4+4a4>0,
结合该函数的图象可得





φ(1+a)>0
1
a
<1+a





φ(2+a)>0
1
a
>2+a
⇔( I)





2a2-a-2>0
a2+a-1>0
或( II)





2a2+a-2>0
a2+2a-1<0

结合a>0可知不等式组( I)的解为a>


17
+1
4
,不等式组( II)无解.所以a>


17
+1
4
举一反三
已知f(x)=


1-x2
|x+2|-2
•lg(


1+x2
-x)
的奇偶性是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)=





x2-2x+2  (x<0)
ax2+bx+c (x>0)
(a,b,c∈R)
,则a+b+c的值是(  )
A.-5B.5C.1D.-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=|x|+x2是(  )
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
如果y=





2x-3 (x>0)
f(x) (x<0)
是奇函数,则f(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设数列{an}满足a1=0,且an+1=an+
1
4
+


1+4an
2
.  
(Ⅰ)求a2的值;
(Ⅱ)设


1
4
+an
=bn
,试判断数列{bn}是否为等差数列?并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)设g(n)=
1
bn+1
+
1
bn+2
+
1
bn+3
+…+
1
b2n
,且g(n)≥m(m∈R)对任意n>1,n∈N*都成立,求m的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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