已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x2+1）总成立，求实数t的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）4+b（-x）3+c（-x）2+d（-x）+e=ax4+bx3+cx2+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax4+cx2+e．
又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax3+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x4+3x2-1．
（2）由f（x）≤t（x2+1）恒成立，且x2+1恒大于0，
可得≤t恒成立．
令g(x)=，设x2+1=m，则m≥1，
∴g(x)===7-2(m+)≤7-4=7-4（当且仅当m=时，“=”号成立）．
∴g（x）的最大值为7-4，
故实数t的取值范围是[7-4，+∞)． |
举一反三
已知函数f（x）=ax3-x2+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f"（1）=0，且f"（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若h(x)=x2-bx+-，解不等式f"（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f"（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由． |
已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求的取值范围；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；
（3）若对于任意的正整数k，当x=时，都有f(x)=成立，则称这样f（x）是K2函数，现有函数g(x)=x2+(a+2)x+b-f(x)，试判断g（x）是不是K2函数？并给予证明．⏟ |
| 设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． |
已知函数f(x)=，那么下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（ ）| A．y=f（x）sinx | B．y=f（x）+sinx | C．y=sin[f（x）] | D．y=f（sinx） |
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| 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则f（log23）=______ |
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