已知函数f(x)=1 ( 当x为有理数时)0(当x为无理数时)，给出下列关于f（x）的性质：①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f
题型：单选题难度：简单来源：不详
已知函数f(x)=，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（ ） |
答案
当T=3，则当x为有有理数时，x+3也为有理数，则f（x+3）=f（x）；
则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）；
故T为函数的周期，即f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确；
若x为有理数，则-x也为有理数，则f（-x）=f（x）；
若x为无理数，则-x也为无理数，则f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函数，故②正确
存在有理数0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正确；
方程f[f（x）]=f（x）可等价变形为f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同，故④正确
故选D |
举一反三
| 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3x，则f（-2）=（ ） |
下列函数中，既是偶函数、又在区间（-1，0）单调递增的函数是（ ）| A．y=|x|+1 | B．y=x2+1 | C．y=2-|x| | D．y=-cosx |
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| 已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在x=-5处的切线的斜率为（ ） |
| 如果函数f（x）在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x1，x2，…，xn，有≤f（）成立．已知函数y=sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ） |
已知奇函数f（x）对任意的正实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，则一定正确的是（ ）| A．f（4）＞f（-6） | B．f（-4）＜f（-6） | C．f（-4）＞f（-6） | D．f（4）＜f（-6） |
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