设函数f（x）=x3-ax2+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[-1，4]，都有f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=x3-ax2+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）若对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，求b的取值范围． |
答案
（1）求导函数可得f′（x）=3x2-2ax+3，∴f′（1）=6-2a
∵图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴
∴f′（1）=0
∴6-2a=0，∴a=3；
（2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x3+6x2-9x+3在[-1，4]上恒成立；
令g（x）=-x3+6x2-9x+3，x∈[-1，4]，只要b＞gmax（x）
∵g′（x）=-3x2+12x-9
令g′（x）＞0，可得1＜x＜3，令g′（x）＜0，可得x＜1，或x＞3
∴函数在（1，3）上单调增，在（-∞，1），（3，+∞）上单调减
∴x=3时，函数取得极大值为g（3）=3
∵g（-1）=19，g（4）=-1
∴g（x）在[-1，4]上的最大值为19
∴b＞19 |
举一反三
已知函数f(x)=(a-1)x2+-(a+1)x(a∈R)．
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）当f（x）为奇函数时，判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． |
函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=1+2x-x2；则当x＜0时，f（x）=（ ）| A．1+2x-x2 | B．1-2x-x2 | C．1+2x+x2 | D．1-2x+x2 |
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已知函数f（x）=lnx-+2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若xlnx≤mx2-在x∈[，1]上恒成立，求m的取值范围． |
定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数f（x）=为（ ）| A．偶函数 | B．奇函数 | | C．奇函数且为偶函数 | D．非奇函数且非偶函数 |
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已知函数f（x）=x3+x2+（a2-3a）x-2a
（1）如果对任意x∈（1，2]，f"（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，试比较|H（m）-H（n）|与|em-en|（e为自然对数的底）的大小，并证明． |
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