已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f(2)=12，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f′（x）＜ex，则不等式f(x)＜ex-12（e=2.71

题型：填空题难度：一般来源：丹东二模

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f(2)=

1

2

，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f′（x）＜e^x，则不等式f(x)＜ex-

1

2

（e=2.718…）的解集为______．

答案

∵函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，∴函数f（x）的对称轴为x=1
∵f(2)=

1

2

，∴f（0）=

1

2

∵f′（x）＜e^x∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]"＜0
令函数g（x）=f（x）-e^x，则函数g（x）在R上单调递减
且g（0）=f（0）-e⁰=

1

2

-1=-

1

2

∵f(x)＜ex-

1

2

∴g（x）=f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）