已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-12.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)
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已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-12.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0时,f(x)<0,
f(1)=-
1
2
.
(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
答案
(1)证明:设x∈R,t>0,x+t>x,则
f(x+t)-f(x)=f(x)+f(t)-f(x)=f(t)
∵t>0,∴f(t)<0,f(x+t)<f(x)
∴f(x)在R上是减函数
(2)由(1)知f(x)在R上是减函数
∴f(x)在[-2,2]上单调递减,
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0+0),∴f(0)=0
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x),∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
∴f(x)
min
=f(2)=f(1)+f(1)=-1,f(x)
max
=f(-2)=-f(2)=1
举一反三
已知函数f(x)=
kx+7
k
x
2
+4kx+3
,若∀x∈R,则k的取值范围是( )
A.0≤k<
3
4
B.0<k<
3
4
C.k<0或k>
3
4
D.0<k≤
3
4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=(a-1)x
2
+(a-1)x+1如果f(x)>0在R上恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
3
x
-
3
-x
2
在其定义域内是( )
A.是增函数又是偶函数
B.是增函数又是奇函数
C.是减函数又是偶函数
D.是减函数又是奇函数
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,设
a=f(ln
1
3
)
,b=f(log
4
3),c=f(0.4
-1.2
)则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b
B.b<a<c
C.c<a<b
D.c<b<a
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=(a-
1
2
)
x
2
+Inx(a∈R)
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若∃x∈[1,3],使f(x)<(x+1)Inx成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)内恒在直线y=2ax下方,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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