显然函数f(x)的定义域为(0,+∞), (1)当a=0时,f(x)=-x2+lnx,f′(x)=-x+=; 由f"(x)>0,结合定义域解得0<x<1, ∴f(x)的单调递增区间为(0,1). (2)将f(x)<(x+1)lnx化简得(a-)x2<xlnx,∵x∈[1,3]∴有a<+ 令g(x)=+,则g/(x)=,由g′(x)=0解得x=e. 当1≤x<e时,g′(x)>0;当e<x≤3时,g′(x)<0 故g(x)max=g(e)=+ ∴∃x∈[1,3],使f(x)<(x+1)lnx成立等价于a<g(x)max=g(e)=+ 即a的取值范围为(-∞,+) (3)令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立. ∵g′(x)=(2a-1)x-2a+== ①若a>,令g"(x)=0,得极值点x1=1,x2=, 当x2>x1=1,即<a<1时,在(x2,+∞)上有g"(x)>0, 此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意; 当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意; ②若a≤,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g"(x)<0, 从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-≤0⇒a≥-, 由此求得a的范围是[-,]. 综合①②可知,当a∈[-,]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方. |