已知f(x)=x,g(x)=x+a(a>0),设F(x)=ag(x)-f(x)f(x)(1)当a=4时,求F(x)的最小值(2)当1≤x≤4时,不等式F(x)>
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已知f(x)=x,g(x)=x+a(a>0),设F(x)=ag(x)-f(x)f(x)(1)当a=4时,求F(x)的最小值(2)当1≤x≤4时,不等式F(x)>
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=
x
,g(x)=x+a(a>0)
,设
F(x)=
ag(x)-f(x)
f(x)
(1)当a=4时,求F(x)的最小值
(2)当1≤x≤4时,不等式F(x)>1恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)当a=4时,
F(x)═
4x+16-
x
x
=4(
x
+
4
x
)-1≥4•2
4
-1=15
∴
当
x
=
4
x
,即x=4时
,F(x)
min
=15(4分)
(2)
F(x)=
ag(x)-f(x)
f(x)
=
a(x+a)-
x
x
=a(
x
+
a
x
)-1,x∈[1,4]
(6分)
设
t=
x
,则
F(x)=a(t+
a
t
)-1,t∈[1,2]
,令
h(t)=a(t+
a
t
)
∵F(x)>1在x∈[1,4]上恒成立,则只需h(t)在[1,2]上的最小值大于2,由函数
y=x+
a
x
的单调性知
a
>2
h
(t)
min
=h(2)>2
或
1≤
a
≤2
h
(t)
min
=h(
a
)>2
或
0<
a
<1
h
(t)
min
=h(1)>2
a>4
a(2+
a
2
)>2
或
1≤a≤4
2a
a
>2
或
0<a<1
a(1+a)>2
,解得a>1(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-(a+1)x+a
(1)解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若f(x)+2x≥0在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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当x>1时,不等式
x+
1
x-1
≥a
恒成立,则实数a的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=mx
2
-mx-6+m
(1)若对于m∈[1,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若对于x∈[1,2],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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不等式(m
2
-2m-3)x
2
-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A.y=2
|x|
B.y=x
2
-x
C.y=2x
D.y=x
3
题型:单选题
难度:简单
|
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