已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任

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已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[
1
2
，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[
1
2
，2]，不等式f（x）≤10在[
1
4
，1]上恒成立，求b的取值范围．
答案
（Ⅰ）因为f（x）=x+
1
x
+1
根据特殊函数y=+x
1
x
的单调性得：函数在[
1
2
，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（
1
2
）=f（2）=
7
2

所以：f（x）∈[3，
7
2
]，
（Ⅱ）f′(x)=1-
a
x2
．
当a≤0时，显然f"（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f"（x）=0，解得x=±


a
．
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：
举一反三
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x(-∞，-


a
)		-


a
(-


a
，0)		(0，


a
)


a
(


a
，+∞)
f"（x）+0--0+
f（x）↗极大值↘↘极小值↗
已知函数ƒ（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=-2x+1，则当x∈（-∞，0）时，f（x）的解析式为______．
若mx2+mx+1＞0对任意x∈（0，2）都成立，则m的取值范围是______．
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）若关于x的不等式a≥f（x）存在实数解，求实数a的取值范围；
（2）若∀x∈R，f（x）≥-t2-
5
2
t-1恒成立，求实数t的取值范围．
设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若∀x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．
设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数是f"（x），若f"（x）是偶函数，则a=______．