设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；（2）若∀x∈[1，+∞），方程
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若∀x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围． |
答案
（1）因为函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以h（x）的定义域为（0，+∞）
所以h(x)= | | x2-x+lnx+m，x≥1 | | -x2+x+lnx+m，0＜x＜1. |
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从而得：h′(x)=
①当x≥1时，由h"（x）＞0得＞0，即2x2-x+1＞0，其判别式△＞0恒成立，
故区间[1，+∞）是函数h（x）的单调增区间；
②当0＜x＜1时，由h"（x）＞0得＞0得即0＜x＜1，
故区间（0，1）也是函数h（x）的单调增区间．
综上所述，函数h（x）的单调增区间是（0，+∞）．
（2）由题意得：x（x-1）+m＞lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
设F（x）=-x2+x+lnx，x∈[1，+∞），则
F′(x)=-2x+1+=-，
显然，当x∈[1，+∞）时，F（x）≤0恒成立，
所以，F（x）在区间[1，+∞）上是单调减函数，
所以[F（x）]max=F（1）=0，
所以m的取值范围是（0，+∞）． |
举一反三
| 设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数是f"（x），若f"（x）是偶函数，则a=______． |
已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）| A．∀x∈R，f（x）＞f（-x） | B．∃x0∈R，f（x0）＞f（-x0） | | C．∀x∈R，f（x）f（-x）≥0 | D．∃x0∈R，f（x0）f（-x0）＜0 |
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| 对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域为[a，b]，则函数y=f（x）（x∈D）称为闭函数．按照上述定义，若函数y=为闭函数，则符合条件②的区间[a，b]可以是______． |
| 已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f(2)=，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f′（x）＜ex，则不等式f(x)＜ex-（e=2.718…）的解集为______． |
已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-．
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值． |
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