对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(
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对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(x∈D)称为闭函数.按照上述定义,若函数
y=
2
x
为闭函数,则符合条件②的区间[a,b]可以是______.
答案
∵函数
y=
2
x
在(-∞,0)和(0,∞+)均为减函数,在[a,b]的值域是[a,b],
∴当[a,b]⊆(0,+∞)时,可得
f(a)=
2
a
=b
f(b)=
2
a
=b
,说明只要满足ab=2,且a<b的正数a、b都能符合题意
同理可得,当[a,b]⊆(-∞,0)时,满足ab=2,且a<b的负数数a、b也能符合题意.
所以任意满足ab=2,且a<b的实数都能符合题意.
故答案为:[1,2]或[-2,-1]等等(答案不唯一)
举一反三
已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,
f(2)=
1
2
,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<e
x
,则不等式
f(x)<
e
x
-
1
2
(e=2.718…)的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0时,f(x)<0,
f(1)=-
1
2
.
(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
kx+7
k
x
2
+4kx+3
,若∀x∈R,则k的取值范围是( )
A.0≤k<
3
4
B.0<k<
3
4
C.k<0或k>
3
4
D.0<k≤
3
4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=(a-1)x
2
+(a-1)x+1如果f(x)>0在R上恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
3
x
-
3
-x
2
在其定义域内是( )
A.是增函数又是偶函数
B.是增函数又是奇函数
C.是减函数又是偶函数
D.是减函数又是奇函数
题型:单选题
难度:一般
|
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