设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;(2)若∀x∈R,f(x)≥-t2-52t-1恒成立
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设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;(2)若∀x∈R,f(x)≥-t2-52t-1恒成立
题型:解答题
难度:一般
来源:洛阳模拟
设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.
(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;
(2)若∀x∈R,f(x)≥-t
2
-
5
2
t-1
恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(1)∵函数f(x)=|2x+1|-|x-2|=
-x-3 , x≤-
1
2
3x-1 , -
1
2
<x<2
x+3 , x≥2
,
∴f
min
(x)=f(-
1
2
)=-
5
2
.
由题意可得a≥-
5
2
,故实数a的取值范围为[-
5
2
,+∞).
(2)∵∀x∈R,f(x)≥-t
2
-
5
2
t-1
恒成立,
∴-
5
2
≥-t
2
-
5
2
t-1
,解得 t≥
1
2
,或 t≤-3.
故实数t的取值范围为[
1
2
,+∞)∪(-∞,-3].
举一反三
设函数f(x)=x|x-1|+m(m∈R),g(x)=lnx.
(1)记h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调增区间;
(2)若∀x∈[1,+∞),方程f(x)>g(x)恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设a∈R,函数f(x)=x
3
+ax
2
+(a-3)x的导函数是f"(x),若f"(x)是偶函数,则a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,则下列结论一定成立的是( )
A.∀x∈R,f(x)>f(-x)
B.∃x
0
∈R,f(x
0
)>f(-x
0
)
C.∀x∈R,f(x)f(-x)≥0
D.∃x
0
∈R,f(x
0
)f(-x
0
)<0
题型:单选题
难度:简单
|
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对于定义在D上的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域为[a,b],则函数y=f(x)(x∈D)称为闭函数.按照上述定义,若函数
y=
2
x
为闭函数,则符合条件②的区间[a,b]可以是______.
题型:填空题
难度:简单
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已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,
f(2)=
1
2
,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<e
x
,则不等式
f(x)<
e
x
-
1
2
(e=2.718…)的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
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