(1)∵函数f(x)是实数集R上的奇函数,∴f(0)=0,∴1+a=0,解得a=-1. ∴f(x)=ex-e-x,经验证函数f(x)是R上的奇函数. 故a=-1适合题意. (2)a=0时,y=ex在区间[0,1]上单调递增,适合题意; 当a≠0时,令t=ex,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e].且t=ex单调递增,故y=|t+|在t∈[1,e]时递增. 当a>0时,函数y=t+在t∈[1,e]时单调递增,得≤1,∴0<a≤1. 当a<0时,y=t+在t∈[1,e]时单调递增恒成立,故∀t∈[1,e],t+≥0. ∴-1≤a<0. 综上可知:-1≤a≤1. (3)∵f(x)+f′(x)=ex++ex-=2ex,∴φ(x)=(x2-3x+3)ex,∴=x2-x. 要证明:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足=(t-1)2. 等价于证明:对任意的t>-2,方程x2-x=(t-1)2在区间(-2,t)内有实数解. 令g(x)=x2-x-(t-1)2, 则g(-2)=6-(t-1)2=-(t+2)(t-4),g(t)=(t-1)(t+2). 所以①当t>4,或-2<t<1时,g(-2)g(t)<0, ∴g(x)=0在(-2,t)内有解,且只有一解. ②当1<t<4时,g(-2)>0,且g(t)>0,但g(0)=-(t-1)2<0, ∴g(x)=0在(-2,t)内有解,且由两解. ③当t=1时,有且只有一个解x=0; 当t=4时,有且只有一个解x=3. 综上所述:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足=(t-1)2. 且当t≥4或-2<≤1时,有唯一的x0适合题意; 当1<t<4时,有两个不同的x0适合题意. |