已知a，b∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值（1）求a与b的关系式；（2）若y=f（x）的单调减区间的长度不小于2，求a的取值范围（注：
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知a，b∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值
（1）求a与b的关系式；
（2）若y=f（x）的单调减区间的长度不小于2，求a的取值范围（注：区间[m，n]的长度为n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2对一切x≥3恒成立，求a的取值范围． |
答案
（1）f"（x）=3x2+2ax+b
∵函数f（x）=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值
∴f"（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f"（x）=3x2+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的单调减区间的长度不小于2
∴|1-（-）|≥2
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x3+ax2+（-2a-3）x-2≥x-2对一切x≥3恒成立
x3+ax2-（2a+4）x≥0对一切x≥3恒成立
∴x2+ax-（2a+4）≥0对一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x2，a≥-x-2
∴a≥-5 |
举一反三
若奇函数f（x）在[2，5]上为增函数，且有最小值0，则它在[-5，-2]上（ ）| A．是减函数，有最小值0 | B．是增函数，有最小值0 | | C．是减函数，有最大值0 | D．是增函数，有最大值0 |
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如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有[f(x1)+f(x2)]≥f()，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f"（x）为f（x）的导函数，且x∈[，2]时，|f"（x）|＜1，求实数a的取值范围． |
| 函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x）+g（x）=（x≠±1），则f（-3）=______． |
| 知f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-3，2a]，则a+b=______． |
| 已知函数f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时f（x）=2*，又当n∈N×时an=f（n），则a2010=______． |
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