已知a,b∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值(1)求a与b的关系式;(2)若y=f(x)的单调减区间的长度不小于2,求a的取值范围(注:
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a,b∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值 (1)求a与b的关系式; (2)若y=f(x)的单调减区间的长度不小于2,求a的取值范围(注:区间[m,n]的长度为n-m); (3)若不等式f(x)≥x-2对一切x≥3恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)f"(x)=3x2+2ax+b ∵函数f(x)=x3+ax2+bx-2在x=1取得极值 ∴f"(1)=3+2a+b=0 (2)由(1)知b=-2a-3 ∴f"(x)=3x2+2ax-2a-3=(3x+2a+3)(x-1)<0 ∵y=f(x)的单调减区间的长度不小于2 ∴|1-(-)|≥2 解得:a≥0或a≤-6 (3)f(x)=x3+ax2+(-2a-3)x-2≥x-2对一切x≥3恒成立 x3+ax2-(2a+4)x≥0对一切x≥3恒成立 ∴x2+ax-(2a+4)≥0对一切x≥3恒成立 即a(x-2)≥4-x2,a≥-x-2 ∴a≥-5 |
举一反三
若奇函数f(x)在[2,5]上为增函数,且有最小值0,则它在[-5,-2]上( )A.是减函数,有最小值0 | B.是增函数,有最小值0 | C.是减函数,有最大值0 | D.是增函数,有最大值0 |
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如果f(x)在某个区间I内满足:对任意的x1,x2∈I,都有[f(x1)+f(x2)]≥f(),则称f(x)在I上为下凸函数;已知函数f(x)=-alnx. (Ⅰ)证明:当a>0时,f(x)在(0,+∞)上为下凸函数; (Ⅱ)若f"(x)为f(x)的导函数,且x∈[,2]时,|f"(x)|<1,求实数a的取值范围. |
函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数且f(x)+g(x)=(x≠±1),则f(-3)=______. |
知f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-3,2a],则a+b=______. |
已知函数f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0时f(x)=2*,又当n∈N×时an=f(n),则a2010=______. |
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