(I) 令x=1,y=0 ∴f(1)•f(0)=f(1)+f(1) ∵f(1)=, ∴f(0)=2(1分) 令x=0, ∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y)即2f(y)=f(y)+f(-y) ∴f(y)=f(-y),对任意的实数y总成立. ∴f(x)为偶函数 (3分) (II)令x=y=1,得 f(1)f(1)=f(2)+f(0). ∴=f(2)+2. ∴f(2)=. ∴a1=2f(2)-f(1)=-=6(4分) 令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n). ∴f(n+2)=f(n+1)-f(n)(5分) | ∴an+1=2f(n+2)-f(n+1)=2[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=4f(n+1)-2f(n)=2[f(n+1)-2f(n)=2an(n≥1). |
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∴{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列, 所以an=6•2n-1=3•2n(7分) (III)证明:设y≠0,∵y≠0时,f(y)>2, ∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(x),即f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y). ∴对于k∈N,总有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立. ∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]>…>f(y)-f(0)>0 ∴对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立.(11分) |