已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=52,且对于任意实数x,y,总有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立.(I)求f(0)的值,并证明函数f

已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=52,且对于任意实数x,y,总有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立.(I)求f(0)的值,并证明函数f

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=
5
2
,且对于任意实数x,y,总有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立.
(I)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(II)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求{an}的通项公式;
(III)若对于任意非零实数y,总有f(y)>2.证明:对于任意m,n∈N*,若m>n,则f(m•y)>f(n•y).
答案
(I) 令x=1,y=0
∴f(1)•f(0)=f(1)+f(1)
∵f(1)=
5
2

∴f(0)=2(1分)
令x=0,
∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y)即2f(y)=f(y)+f(-y)
∴f(y)=f(-y),对任意的实数y总成立.
∴f(x)为偶函数              (3分)
(II)令x=y=1,得 f(1)f(1)=f(2)+f(0).
25
4
=f(2)+2.
∴f(2)=
17
4

∴a1=2f(2)-f(1)=
17
2
-
5
2
=6(4分)
令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=
5
2
f(n+1)-f(n)(5分)
an+1=2f(n+2)-f(n+1)=2[
5
2
f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=4f(n+1)-2f(n)=2[f(n+1)-2f(n)=2an(n≥1).

∴{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列,
所以an=6•2n-1=3•2n(7分)
(III)证明:设y≠0,∵y≠0时,f(y)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(x),即f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y).
∴对于k∈N,总有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立.
∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]>…>f(y)-f(0)>0
∴对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立.(11分)
举一反三
已知曲线C:f(x)=3x2-1,C上的两点A,An的横坐标分别为2与an(n=1,2,3,…),a1=4,数列{xn}满足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1
(t>0且t≠
1
2
,t≠1)
、设区间Dn=[1,an](an>1),当x∈Dn时,曲线C上存在点pn(xn,f(xn)),使得点pn处的切线与AAn平行,
(I)建立xn与an的关系式;
(II)证明:{logt(xn-1)+1}是等比数列;
(III)当Dn+1⊈Dn对一切n∈N+恒成立时,求t的范围.
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已知函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行,导函数f"(x)的最小值为-12.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设cos2x<1-4sinx+


5a-4
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=-x3-x,a,b,c∈R且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值(  )
A.一定大于零B.一定小于零
C.等于零D.正负都有可能
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若f(x)在[-3,3]上为奇函数,且f(3)=-2,则f(-3)+f(0)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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