已知函数f（x）=x•ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）若存在实数x∈[1，2]，使不等式f(x)≤12x2+(t-1)

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x•e^x+ax²+bx在x=0和x=1时都取得极值．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）若存在实数x∈[1，2]，使不等式f(x)≤

1

2

x2+(t-1)x成立，求实数t的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x+2ax+b，
因为f（x）在x=0和x=1时取得极值，
所以有

f′(0)=0 f′(1)=0

，即

1+b=0 e+e+2a+b=0

，解得

b=-1 a= 1 2 -e

，经检验符号条件，
故a=

1

2

-e，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=xex+

1

2

x2-ex2-x，
即存在实数x∈[1，2]，使xe^x-ex²-tx≤0成立，即e^x-ex-t≤0，
令g（x）=e^x-ex-t，则g′（x）=e^x-e≥0恒成立，
所以g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）_最小=g（1）=e-e-t≤0，
∴t∈[0，+∞）