已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[12,1]都成立,则实数a的取值范围是______.
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已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[12,1]都成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意
x∈[
1
2
,1]
都成立,则实数a的取值范围是______.
答案
根据奇函数在对称区间上单调性相同且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
故f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
若f(ax+1)≤f(x-2)对任意
x∈[
1
2
,1]
都成立,
则ax+1≤x-2对任意
x∈[
1
2
,1]
都成立,
即a≤
x-3
x
=1-
3
x
对任意
x∈[
1
2
,1]
都成立,
由函数y=1-
3
x
在
[
1
2
,1]
为增函数,
故x=
1
2
时,最最小值-5
即a≤-5
故实数a的取值范围是(-∞,-5]
故答案为:(-∞,-5]
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log
2
(x+1),则f(2012)+f(-2013)=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设函数f(x)的定义域为R,若存在常数G>0使
|f(x)|≤
G
100
|x|
对一切实数x均成立,则称函数f(x)为G函数.现给出下列函数:
①
f(x)=
2
x
2
x
2
-x+1
;
②f(x)=x
2
sinx;
③f(x)=2x(1-3
x
);
④f(x)是定义在R的奇函数,且对一切x
1
,x
2
,恒有|f(x
1
)+f(x
2
)|≤100|x
1
+x
2
|.
则其中是G函数的序号为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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(注:本题第(2)(3)两问只需要解答一问,两问都答只计第(2)问得分)
已知函数f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数,且图象在点(e,f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数).
(1)求实数a、b的值;
(2)若k∈Z,且
k<
f(x)
x-1
对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当m>n>1(m,n∈Z)时,证明:(nm
m
)
n
>(mn
n
)
m
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,y∈R,不等式f(x
2
+6x+21)+f(y
2
-8y)<0恒成立,则
x
2
+
y
2
的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=lnx-ax
2
-bx(a,b∈R),g(x)=
2x-2
x+1
-lnx
(I)当a=-1时,f(x)与g(x)在定义域上的单调性相反,求b的取值范围;
(II)设x
1
,x
2
是函数y=f(x)的两个零点,且x
1
<x
2
求证
2
x
1
+
x
2
<a(x
1
+x
2
)+b.
题型:解答题
难度:一般
|
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